Calculo da área de um quadrilatero formado por equações de reta

Questão: Calcule a área do quadrilátero formado pelas retas Y=2x+1, y=-2x+7, x=0 e Y=0.

Primeiramente devemos notar que temos 4 equações de reta. Nesse tipo de problema a plotagem do gráfico é importante para solução do problema. Portanto vamos traçar as retas.

Y=2x+1 (reta 1)
y=-2x+7 (reta 2)
x = 0 (reta 3)
y = 0 (reta 4)

Para traçarmos uma reta em um gráfico precisamos de pelo menos dois pontos dessa reta.

Para a reta 1 temos que quando x = 0:
y = 2.0 + 1 = 1
Logo temos o primeiro ponto da reta 1. (0, 1)

Para a reta 2 temos que quando y = 0:
0 = 2x + 1
2x = - 1
x = -1/2 = -0.5
Logo temos o segundo ponto da reta 1. (-0.5, 0)

O mesmo procedimento pode ser feito para reta 2. Nesse caso vamos encontrar os pontos:
(0, 7) e (3.5, 0)

A reta 3 é aquela formada a partir de pontos com x = 0 e coincide com o eixo vertical do gráfico.
(0,0) e (0, 2) são pontos dessa reta.
A reta 4 é aquela formada a partir de pontos com y = 0 e coincide com o eixo horizontal do gráfico.
(0,0) e (4,0) são pontos dessa reta.

Agora podemos traçar as retas encontradas:                      
                                                                                               y

x

Agora é importante notar quais os limites do quadrilátero e assim elaborarmos uma estratégia correta para o calculo de sua área.
A figura do quadrilátero pode ser visualmente delimitada pelos pontos (0,1) , (0, 0) , (3.5, 0) e pelo ponto de cruzamento ou interceptação entre as retas 1 e 2.

Para termos certeza sobre o ponto de interceptação precisamos usar as equações das retas 1 e 2:
y = 2x +1
y = -2x + 7

Temos ai um sistema simples de duas equações  e duas incógnitas e podemos igualar as equações através do y.

2x + 1 = -2x +7
4x = 6
x = 3/2 = 1.5
Substituindo o valor de x = 3/2 na equação 1 podemos encontrar y:
y = 2. 3/2 + 1
y = 3 + 1 = 4

Portanto temos o ultimo ponto do quadrilátero (1.5, 4)

Observando novamente o gráfico podemos concluir que a área do quadrilátero pode ser dada pela seguinte diferença de triângulos:
Área do triangulo maior - Área do triangulo menor

O triangulo maior é formado entre os pontos: (-0.5, 0) , (3.5, 0) e (1.5, 4)
O triangulo menor é formado pelos pontos: (-0.5, 0), (0, 0) e (0, 1)

Lembrando que a área de um triangulo pode ser dada por base. altura / 2.

Calculo área do triangulo maior
Pelo gráfico podemos verificar que base = 4 e altura = 4. Logo:
Área triangulo maior = 4 . 4 / 2 = 8

Calculo área do triangulo menor
Pelo gráfico podemos verificar que base = 0.5 e altura = 1. Logo:
Área triangulo maior = 0.5 . 1 / 2 = 0.25 Área do quadrilátero = 8 - 0.25 = 7.75

Fisica: Questão de cinemática envolvendo movimento uniforme (MU) e movimento uniformemente variado (MUV)

Questão: De uma cidade A parte, do repouso, para uma cidade B um carro em MUV de aceleração 12 m/s2.

 Nesse exato momento parte de B para A, na mesma direção, um outro carro, com velocidade constante de 25 m/s. A distância entre as cidades A e B é de 469 m. Determine a que distância de A ocorre o encontro ?

 

 

Exercicío com equação do segundo grau para usar o relacionamento entre as raízes

Questão:Qual o valor de m, para que uma das raízes da equação         x2 + mx + 27 = 0 seja o quadrado da outra ?

 

O mais importante na resolução desse tipo de exercício é lembrar das relações entre raízes de uma equação do segundo grau.

Dada uma equação genérica: ax2 + bx + c = 0, as raízes x1 e x2 dessa equação obedecem as seguintes propriedades:

x1 + x2 = -b/a

x1.x2 = c/a

Segue solução:

 

Exercicío de simplificação de expressão com binômio de diferença entre quadrados

Simplificar a expressão x=(a²-b²)/(a+b).

Nesse caso o mais importante é fatorar a diferença de quadrados do numerador com a seguinte relação:

(x²-y²) = (x + y)(x - y)

Idealização do Solução Trivial

Nessa primeira postagem quero destacar minha intenção com a criação do Solução Trivial.
Em minhas andanças tive diversas experiências na preparação para provas, vestibulares e concursos. Passei por duas faculdades públicas nas áreas de exatas e tecnologia. Dessa forma, tive a oportunidade de perceber as dificuldades existentes nesse processo de aprendizado.
A internet sem duvida vem nos ajudando muito nesse processo, no entanto nem sempre as informações disponíveis apresentam clareza, detalhes ou didática necessária para se fazerem entendidas até mesmo para aqueles que possuem mais dificuldade.
Pensando nisso criei esse espaço para poder compartilhar principalmente conhecimento de matemática e física a partir de questões de provas, vestibulares e concursos em geral. A ideia é expor soluções com calma, clareza e detalhadamente. Assim espero garantir o maior entendimento para todos, independente do estagio individual de conhecimento do interessado.

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